Makalah

RELASI KETERBAGIAN

Pada bab sebelumnya Anda sudah diperkenalkan sifat-sifat yang berlaku pada himpunan bilangan bulat yang membentuk sistem bilangan bulat pada operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Anda mungkin sudah mengenal sifat-sifat tersebut sebelumnya, seperti perkalian dua bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat positif lainnya. Meskipun demikian, sebagai seorang matematikawan Anda dituntut untuk mampu memahami konsep dan prinsip yang mendasari sifat-sifat tersebut dan juga mampu membuktikannya dengan harapan Anda dapat memahami struktur matematika dalam hal ini struktur matematika pada himpunan bilangan bulat. Selain itu, melalui kegiatan pembuktian pada bab sebelumnya Anda diharapkan terlatih dalam mengembangkan argumentasi pembuktian formal dengan menggunakan definisi dan sifat-sifat yang s
udah diketahui sebelumnya.

Dengan teknik pembuktian dan pemahaman yang Anda miliki mengenai sistem bilangan bulat sebelumnya, diharapkan dapat Anda gunakan dalam bab ini yaitu mengenai konsep keterbagian. Konsep keterbagian adalah fondasi utama dari ilmu teori bilangan. Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat:

1. Mendefinisikan relasi keterbagian,
2. Membuktikan beberapa sifat dan teorema penting yang berkenaan dengan relasi keterbagian, dan
3. Menerapkan konsep, sifat, dan teorema tentang relasi keterbagian dalam penyelesaian masalah.

Konsep tentang keterbagian adalah dasar dari ilmu teori bilangan karena akan memberi dasar untuk pengembangan konsep lainnya dalam ilmu teori bilangan, seperti FPB dan KPK, Modulo, Kekongruenan, Perkongruenan dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat disarankan agar Anda bersungguh-sungguh dalam mempelajari materi ini.

Semesta pembicaraan dalam teori bilangan adalah himpunan semua bilangan bulat. Meskipun demikian, ditemuka juga pada pembahasan teori bilangan lainnya yang membatasi semesta pembicaraannya pada himpunan bilangan asli. Untuk mempermudah penulisan, pada pembahasan selanjutnya di buku ini bilangan bulat kita notasikan cukup dengan huruf latin bold, seperti a, b, c, p, q, r, s, k, dan sebagainya. 

A.      PENGERTIAN KETERBAGIAN

Sebelumnya Anda telah diperkenalkan mengenai definisi pembagian,yaitu pembagian dedifiniskan sebagai invers dari operasi perkalian, yaitu bilangan bulat a dikatakan membagi bilangan bulat b dan menghasilkan bilangan c jika dan hanya jika a merupakan hasil perkalian b oleh c. Pernyataan ini dapat dinotasikan menjadi a : b = c ó a = c × b.

Lalu, yang menjadi pertanyaanya adalah apakah c selalu bilangan bulat? Meski dalam banyak kasus, seperti 8 : 4 = 2 atau 21 : 7 = 3, menunjukkan bahwa c adalah bilangan bulat, akan tetapi banyak ditemukan kasus lainnya yang menunjukkan bahwa pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya tidak menghasilkan bilangan bulat, seperti 10 : 3 atau 21 : 4. Ini menunjukkan bahwa c pada a : b = c tidak selalu bilangan bulat. Situasi ini memunculkan pertanyaan lainnya, yaitu dalam situasi seperti apakah c adalah bilangan bulat?

Untuk dapat menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu kita tinjau kembali definisi operasi pembagian bilangan, yaitu a : b = c ó a = c × b untuk a dan b adalah sembarang bilangan bulat. Jika c adalah bilangan bulat maka b harus membagi habis a, yaitu b membagi a tanpa ada sisa pembagian, misalnya 4 membagi habis 12, yaitu 3, dan tidak ada sisa pembagian. Dalam hal ini c, yaitu bilangan 3, adalah bilangan bulat. Lain halnya jika b tidak habis membagi a maka c bukanlah bilangan bulat, misalnya 5 tidak habis membagi 12 karena akan ada sisa pembagian, yaitu 2, oleh karena itu 12 : 5 tidak menghasilkan bilangan bulat lainnya.

Dalam teori bilangan, konsep habis membagi ini kemudian dikenal dengan istilah Relasi Keterbagian. Relasi ini didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1 : Relasi Keterbagian Dikatakan bilangan bulat a dengan a ≠ 0 membagi habis bilangan bulat b, dinotasikan dengan a|b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikan sehingga ka = b, yaitu: a|b ó ka = b untuk k  b dan a ≠ 0.

Berdasarkan definisi di atas, notasi a|b menunjukkan bahwa bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b. Tapi, jika bilangan bulat a tidak habis membagi bilangan bulat b, maka pernyataan ini dapat dinotasikan dengan a b.

Perhatikan beberapa contoh pernyataan matematika berikut ini!

2|14 karena ada bilangan bulat 7 sedemikian sehingga 7 × 2 = 14.

6|78 karena ada bilangan bulat 13 sedemikian sehingga 6 × 13 = 78.

Apakah 17|493 ? Karena 17 × 29 = 493 maka benar bahwa 17|493.

Apa yang dapat Anda simpulkan hubungannya dengan konsep keterbagian ketika menemukan fakta bahwa 23 × 12 = 276? 12 × 23 = 276 menunjukkan bahwa 12|276 karena ada bilangan bulat 23 sehingga 23 × 12 = 276. Selain itu dapat disimpulkan juga bahwa  23|276 karena ada bilangan built 12 sedemikian sehingga 12 × 23 = 276.

4  26 karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi sedemikian sehingga k × 4 = 26.

Apakah 8|138 ? Karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi persamaan k × 8 = 138. Maka, 8  138.

Pernyataan-pernyataan di atas menunjukkan kepada Anda sejumlah contoh pernyataan matematika yang menunjukkan relasi keterbagian yaitu menjelaskan bilangan-bilangan bulat yang habis membagi dan bilangan bulat yang tidak habis membagi bilangan bulat lainnya.

Mari kita tinjua kembali kembali definisi relasi keterbagian, yaitu bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b, dinotasikan dengan a|b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikan sehingga ka = b. Kita tinjau persamaan ka = b. Persamaan ini memberikan makna bahwa bilangan bulat b didapatkan dengan cara mengalikan (melipatgandakan) bilangan bulat a sebesar k kali. Ini menunjukkan bahwa b adalah kelipatan dari a sebesar k kali. Jadi, jika a|b maka b adalah kelipatan dari a, misalnya jika 3|21 maka 21 adalah kelipatan dari 3, yaitu 7 × 3 = 21. Pernyataan ini kemudian dinyatakan dalam sifat relasi keterbagian berikut ini:

Sifat 2.1 : Sifat Relasi Keterbagian Jik a|b, maka b adalah kelipatan dari a.

Kita tinjau kembali definisi dari relasi keterbagian, yaitu a|b ó ka = b untuk k  B. Apakah bilangan bulat k adalah tunggal? yaitu apakah bilangan bulat k adalah satu-satunya bilangan bulat yang memenuhi relasi keterbagian a|b ó ka = b untuk k  b ? Ini adalah pertanyaan yang krusial karena jika k tidak tunggal maka kita diharuskan untuk menganalisis relasi keterbagian dari berbagai nilai k yang memenuhi. Sebelum kita dapat menunjukkan apakah k tunggal atau tidak, kita tinjau terlebih dahulu sifat perkalian pada kesamaan dan sifat kenselasi pada operasi perkalian:

Sifat 2.2 : Sifat perkalian pada kesamaan (i) dan sifat kenselasi (ii) (i)                 Jika a = b, maka am = bm untuk sembarang bilangan real m (ii)               Jika am = bm, maka a = b dengan m ≠ 0.

Bukti:

(i)                 Dengan sifat refleksif, am = am. Substitusi a = b pada salah satu ruas dari persamaan am = am sehingga menjadi am = bm.

(ii)               Misalkan n adalah invers perkalian dari m, maka dengan sifat (i) persamaan am = bm dapat dinyatakan menjadi amn = bmn. Karena n adalah invers perkalian dari m dan m ≠ 0, maka persamaan amn = bmn menjadi a × 1 = b × 1. Dengan sifat identits perkalian, persamaan a.1 = b.1 menjadi a = b.  

Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, akan ditinjau ketunggalan dari k pada a|b ó ka = b untuk k  B. Tetapi sebelumnya mari kita tinjau eksistensi dari k pada a|b ó ka = b untuk k  b jika memperhatikan nilai a dan b!

Kasus yang pertama adalah jika a = 0 dan b ≠ 0, apakah k eksis, yaitu apakah ada nilai k yang memenuhi? Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu menunjukkan apakah ada bilangan bulat k sedemikian sehingga 0|b untuk b ≠ 0. Kita selidiki bahwa jika 0|b maka k.0 = b. Persamaan k.0 = b dengan b ≠ 0 tidak memiliki nilai k yang memenuhi. Dengan demikian, k tidak terdefinisi pada relasi keterbagian a|b ó ka = b jika a = 0 dan b ≠ 0.

Kasus kedua adalah jika a = 0 dan b = 0, apakah k pada relasi keterbagian a|b ó ka = b eksis? Ini berarti kita akan selidiki apakah 0|0 ? Berdasarkan definisi relasi keterbagian 0|0 jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian k.0 = 0. Ada tak hingga bilangan bulat k yang memenuhi persamaan k.0 = 0. Dengan demikian, jika a = 0 dan b = 0, maka terdapat tak hingga bilangan bulat k yang memenuhi relasi keterbagian a|b ó ka = b. Ini menunjukkan bahwa k dalam kasus ini tidak tunggal, akan tetapi ada tak hingga k yang memenuhi relasi keterbagian tersebut.

Dua kasus di atas menunjukkan eksistensi dari k, yaitu tak terdefinisi atau tak hingga.  Meskipun demikian dua kasus di atas bukanlah pembicaraan kita pada konsep keterbagian ini karena kedua kasus tersebut bertentangan dengan definisi relasi keterbagian pada definsi 2.1 di atas, yaitu a ≠ 0. Oleh karena itu, kita tertarik pada pembuktian ketunggalan k yang memenuhi pengertian relasi ketebagian yang sesuai dengan Definisi 2.1.

Akan dibuktikan bahwa k pada a|b ó ka = b untuk k  b dan a ≠ 0 adalah tunggal. Untuk membuktikan ketunggalan k ini, kita terlebih dahulu mengandaikan bahwa k tidak tunggal dan kemudian akan dibuktikan bahwa pengandaian itu tidak benar. Dengan demikian k berarti tunggal. Mari kita mulai! Andaikan k tidak tunggal, yaitu terdapat k₁ dan k₂ yang memenuhi ka = b dimana k₁ ≠ k₂ maka k₁a = b dan k₂a = b. Karena k₁a = b dan k₂a = b, maka dengan sifat transitif k₁a = b dan k₂a = b menjadi k₁a = k₂a. Dengan sifat kenselasi pada perkalian terhadap a dan a ≠ 0, maka k₁a = k₂a menjadi k₁ = k₂. Ini bertentangan dengan pengandaian bahwa k₁ ≠ k₂, yaitu k tidak tunggal. Dengan demikian k tunggal.

Argumentasi di atas lebih singkatnya dipaparkan sebagai berikut:

k₁a = b dan k₂a = b memenuhi a|b

k₁a = b          (i)

k₂a = b          (ii)

Dari (i) dan (ii),

k₁a = k₂a                   (sifat transitif)

k₁ = k₂                      (sifat kenselasi)

Jadi, nilai k pada a|b ó ka = b untuk k  b dan a ≠ 0 adalah tunggal.

Untuk mempermudah kita dalam penyebutan elemen-elemen pada konsep relasi keterbagian ini, kita akan perkenalkan sejumlah istilah-istilah penting. Pertama, istilah ‘membagi habis’ cukup kita katakan dengan istilah ‘membagi’, misalnya pernyataan a|b cukup dibaca dengan ‘a membagi b’. Istilah-istilah lainnya yang memiliki arti yang serupa dengan a|b antara lain: a adalah faktor dari b, a adalah pembagi b, atau a kelipatan b.

Kedua, pada relasi keterbagian a|b ó ka = b, maka k disebut hasil bagi (kosien) b oleh a atau dapat juga dinyatakan dengan k adalah faktor b komplemen a. Misalnya pada relasi keterbagian 2|10, maka 5 adalah hasil bagi (kosien) 10 oleh 2 atau 2 adalah komplemen dari 5 dan 5 adalah faktor dari 10 pada 2|10  

B.       TEOREMA-TEOREMA TENTANG RELASI KETERBAGIAN

Pada bagian ini kita akan menganalisis kebenaran dari teorema-teorema dasar dalam relasi keterbagian sebagai dasar untuk memahami teori bilangan lebih jauh lagi.

Pertama, mari kita tinjau fakta bahwa p|q. Menurut Definisi 2.1, p|q jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga kp = q. Dengan sifat perkalian pada kesamaan, kita dapat mengalikan kedua ruas dengan sembarang bilangan bulat m, sehingga kp = q menjadi kpm = qm. Dengan sifat komutatif dan asosiatif, persamaan yang terakhir dapat disusun menjadi (km) p = qm. Karena k dan m adalah bilangan bulat maka km adalah bilangan bulat. Dengan demikian, persamaan (km) p = qm berdasarkan Definisi 2.1 menunjukkan bahwa p membagi qm, yaitu p|qm. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa jika p|q maka p|qm untuk p, q, m sembarang bilangan bulat. Kesimpulan ini dinyatakan dalam teorema berikut ini:

Teorema 2.1 : Jika p|q maka p|qm

Kedua, mari kita tinjau fakta bahwa p|q dan p|r. Jika demikian apakah p|(q + r) ? Dengan Definisi 2.1, karena p|q maka ada k sehingga kp = q dan karena p|r maka ada j sehingga jp = r. Selanjutnya kita jumlahkan q dengan r, sehingga q + r = kp + jp. Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka q + r = kp + jp dapat dinyatakan menjadi q + r = (k + j) p. Karena k + j adalah bilangan bulat, maka persamaan q + r = (k + j) p ini menunjukkan bahwa p membagi q + r atau dinotasikan dengan p|q + r. Dengan ini dapat disimpulkan bahwa jika p|q dan p|r maka p|(q + r).

Jika q dikurangi dengan r, maka diperoleh q – r = kp – jp atau dapat ditulis q – r = kp + (-jp) (definisi pengurangan bilangan bulat). Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, persamaa q – r = kp + (-jp) dapat ditulis menjadi q – r = (k + (-j)) p atau q – r = (k – j) p. Karena (k – j) adalah bilangan bulat, maka persamaan q – r = (k – j) p menunjukkan bahwa p|(q – r). Pernyataan bahwa p|(q + r) dan p|(q – r) jika p|q dan p|r dinyatakan dalam teorema berikut ini:       

Teorema 2.2 : Jika p|q dan p|r maka p|(q + r) dan p|(q – r)

Selanjutnya, mari kita tinjau Teorema 2.1 dan 2.2 secara bersamaan. Jika p|q₁ dan p|q₂, berdasarkan Teorema 2.1 maka p|q₁m₁ dan p|q₂m₂ untuk sembarang bilangan bulat m₁ dan m₂. Karena p|q₁m₁ dan p|q₂m₂, maka berdasarkan Teorema 2.2 p|(q₁m₁ + q₂m₂). Fakta ini dinyatakan dengan teorema berikut ini:

Teorema 2.3 : Sifat Linearitas Jika p|q1 dan p|q2 maka p|(q1m1 + q2m2)

Sifat linearitas pada Teorema 2.3 dapat diperluas untuk kasus yang lebih umum, yaitu jika p|q_1, p|q_{2, p|q3, … p|qn}  dengan Teorema 2.3 maka p|(q₁m₁ + q₂m₂ + q₃m₃ + … + q_nm_n ) untuk sembarang bilangan bulat m₁, m₂, m₃, … m_n. Perluasan dari Teorema 2.3 ini dinyatakan dalam teorema berikut ini:

Teorema 2.4 : Jika p|q1, p|q2, p|q3, … p|qn  maka p|(q1m1 + q2m2 + q3m3 + … + qnmn ) untuk sembarang bilangan bulat m1, m2, m3, … mn.

Contoh penggunaan dari Teorema 2.4 adalah pada kasus berikut ini: diketahui bahwa 2|x.  Apakah 2| x² + 3x + 18 ?  Karena 2|x berdasarkan Teorema 2.1 maka 2|x.x, yaitu 2|x², dan 2|3x. Sudah jelas bahwa 2|18 karena ada bilangan bulat 9 sedemikian sehingga 2.9 = 18. Dengan demikian, karena 2|x², 2|3x, dan 2|18 berdasarkan Teorema 2.4 maka 2|x² + 3x + 18.

Contoh lainnya misalnya diketahui persamaan berikut ini 21x – 12y + 99 = 2z. Apakah 3|2z ?

Karena 3|21 maka 3|21x. Selain itu 3|12 maka 3|12y. Di samping itu, sudah jelas bahwa 3|99. Dengan demikian, karena 3|21x, 3|12y, dan 3|99 maka 3|21x – 12y + 99. Karena 21x – 12y + 99 = 2z, maka 3|2z.

Untuk menguatkan pemahaman Anda mengenai konsep relasi keterbagian ini, sebagai latihan coba Anda tunjukan bahwa 5|4w jika 10x² + 45y – 5z = w !

Teorema lainnya yang memegang peranan penting dalam konsep relasi keterbagian adalah teorema yang mendeskripsikan sifat transitif pada relasi keterbagian yang dinyatakan sebagai berikut:

Teorema 2.5 : Sifat Transitif Jika p|q dan q|r maka p|r

Bukti dari teorema ini dipaparkan sebagai berikut: Berdasarkan Definisi 2.1, karena p|q maka ada bilangan bulat m sehingga pm = q dan karena q|r maka ada bilangan bulat n sehingga qn = r. Selanjutnya, kita substitusikan q = pm ke qn = r, sehingga menjadi pmn = r atau p (mn) = r. Karena mn adalah bilangan bulat, maka persamaan p (mn) = r menunjukkan bahwa p|r. 

Jika a|b dan b|a, apakah dapat kita simpulkan bahwa a = b ?

a|b jika dan hanya jika ada bilangan bulat m sehingga am = b

b|a jika dan hanya jika ada bilangan bulat n sehingga bn = a

Kita substitusikan b = am pada a = bn, maka kita dapatkan a = amn atau dapat ditulis a = a (mn). Karena berdasarkan definisi relasi keterbagian (Definisi 2.1) yaitu a ≠ 0, maka nilai mn yang memenuhi persamaan a = a (mn) adalah mn = 1. Jika mn = 1, maka akan ada dua kemungkinan, yaitu pertama m = n = 1, atau kemungkinan kedua m = n = (-1). Untuk kemungkinan pertama, yaitu m = n = 1, maka am = b menjadi a.1 = b sehingga a = b. Untuk kemungkinan kedua, yaitu m = n = (-1), maka a = bn menjadi a = b.(-1) sehingga a = -b. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika a|b dan b|a maka akan ada dua kemungkinan a = b atau a = -b.

Teorema 2.6 Jika p|q dan q|p, maka p = q atau p = -q

Jika pada p|q kita batasi p dan q pada bilangan bulat positif saja, maka mudah dimengerti bahwa p = q atau p < q. Untuk memahami hal ini, mari kita tinjau pernyataan p|q, yaitu jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga pk = q. Maka k ≥ 1 untuk memastikan p adalah bilangan bulat positif. Jika k = 1, maka p.1 = q yang berarti p = q. Akan tetapi, jika k > 1 maka q merupakan kelipatan dari p sebesar k kali yang berarti p < q. Kejadian menunjukkan bahwa jika p|q dengan p dan q adalah bilangan bulat positif maka p = q atau p < q.

Teorema 2.7 Jika p|q dengan p dan q adalah bilangan bulat positif maka p = q atau p < q

   Untuk setiap bilangan bulat m, apakah mp|mq jika diketahui bahwa p|q? Untuk menyelidiki dan menemukan jawaban atas pertanyaan di atas, kita tinjau kembali definisi dari relasi keterbagian, yaitu jika p|q maka ada bilangan bulat k sedemikian sehingga kp = q. Dengan sifat perkalian pada kesamaan, kita kalikan kedua ruas dengan bilangan bulat m sehingga menjadi kpm = qm. Persamaan yang terakhir ini menunjukkan bahwa pm|qm. Dengan demikian, jika p|q, maka pm|qm untuk sembarang bilangan bulat m.  

Teorema 2.8 Jika p|q, maka pm|qm untuk sembarang bilangan bulat m

Jika Teorema 2.8 menunjukkan bahwa jika p|q, maka pm|qm untuk sembarang bilangan bulat m. Bagaimana dengan sebaliknya, yaitu jika pm|qm, apakah p|q ?

Mari kita selidiki! Jika dikatakan pm|qm maka berdasarkan definisi relasi keterbagian akan ada bilangan bulat k sedemikian sehingga pmk = qm. Dengan sifat kenselasi pada perkalian, pmk = qm dapat ditulis menjadi pk = q (kenselasi m dari kedua ruas). Persamaan yang terakhir, yaitu pk = q, menunjukkan bahwa p|q. Tapi bagaimana jika m = 0 pada pm|qm, maka pm|qm menjadi p.0|q.0, yaitu 0|0. Pada invesitagasi sebelumnya, relasi keterbagian yang dinyatakan dengan 0|0 memiliki tak hingga bilangan bulat k yang memenuhi 0.k = 0. Selain itu, situasi ini bertentangan dengan definisi relasi keterbagian yang membatasi nilai komplemen dari k, yaitu adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan 0, yaitu pada relasi keterbagian p|q maka p ≠ 0. Jadi dapat kita simpulkan bahwa jika pm|qm, maka p|q dengan m ≠ 0.   

Teorema 2.9 Jika pm|qm dengan m ≠ 0, maka p|q

Selanjutnya mari kita selidiki apakah a|a, 1|a, dan a|0.  Apakah a|a ? Jika benar bahwa a|a, maka akan ada bilangan bulat k yang memenuhi ak = a. Bilangan bulat yang memenuhi persamaan ak = a adalah k = 1 karena a.1 = a. Dengan demikian a|a.

Apakah 1|a ? Dengan pendekatan yang sama, kita akan menyelidiki apakah ada bilangan bulat k yang memenuhi 1.k = a jika 1|a. Bilangan bulat k = a memenuhi persamaan 1.k = a. Dengan demikian 1|a.

Masalah yang ketiga adalah apakah a|0. Berdasarkan definisi, a|0 jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga a.k = 0. Bilangan bulat k yang memenuhi persamaan tersebut adalah k = 0. Dengan demikian, a|0.

Ketiga fakta di atas selanjutnya kita himpun dalam Teorema 2.10 sebagai berikut:

Teorema 2.10 Untuk sembarang bilangan bulat a, maka: (i)                 a|a untuk a ≠ 0 (ii)               a|0 untuk a ≠ 0 (iii)             1|a

Pada bagian sebelumnya kita sudah menyelidiki kebenaran dari teorema-teorema yang berlaku pada relasi keterbagian. Untuk menguatkan pemahaman Anda mengenai teorema-teorema pada konsep relasi keterbagian tersebut, kita akan mencoba membuktikan sejumlah permasalahan relasi keterbagian berikut ini:

1.      Jika a|b, apakah a|(-b) ?

2.      Jika a|2m, apakah a|4(m² – 3m + 2a) ?

3.      Apakah hasil kali dua bilangan bulat berurutan selalu terbagi oleh 2?

Masalah pada nomor 1 ingin menunjukkan bahwa jika a habis membagi b maka a juga akan habis membagi invers penjumlahan dari b, yaitu (-b). Untuk menyelesaikan masalah ini, pertama-tama kita tinjau fakta yang sudah ada yaitu a|b. Kemudian dengan Teorema 2.1, maka a|b.(-1), yaitu a|(-b). Dengan demikian terbukti bahwa a|(-b) jika a|b.

Sedangkan masalah pada nomor 2 lebih kompleks dari masalah sebelumnya. Fakta yang sudah diketahui adalah a membagi 2m. Kemudian akan ditunjukkan apakah a akan membagi 4(m² – 3m + 2a). Untuk menyelesaikan masalah ini, ada baiknya jika kita tinjau terlebih dahulu bentuk aljabar 4(m² – 3m + 2a). Bentuk aljabar ini dapat dijabarkan menjadi 4m² – 12m + 8a. Jika kita berhasil menunjukkan bahwa a dapat membagi habis masing-masing suku pada bentuk aljabar 4m² – 12m + 8a, maka menurut Teorema 2.3 atau 2.4, a akan habis membagi 4m² – 12m + 8a, yaitu a|4m² – 12m + 8a. Dengan demikian terbuktilah bahwa a|4(m² – 3m + 2a). Mari kita mulai penyelidikan ini! Informasi yang sudah kita miliki adalah a|2m. Dengan Teorema 2.1 maka a|2m × 2m, yaitu a|4m² (i). Dengan fakta bahwa a|4m², maka salah satu suku pada 4m² – 12m + 8a, yaitu 4m² terbagi oleh a. Selanjutnya kita akan tunjukan bahwa a juga membagi 12m. Karena a|2m, dengan Teorema 2.1 maka a|2m × 6, yaitu a|12m (ii). Selanjutnya kita akan tunjukan bahwa a juga membagi 8a. Menurut Teorema 2.10, sudah jelas bahwa a|a. Dengan ini a|a × 8, yaitu a|8a (iii). Dari relasi keterbagian (i), (ii), dan (iii) dan menurut Teorema 2.2, 2.3, dan 2.4 maka a|4m² – 12m + 8a karena a|4m², a|12m, dan a|8a. Dengan demikian karena a|4m² – 12m + 8a maka terbukti bahwa a|4(m² – 3m + 2a).  Argumentasi di atas lebih jelasnya dijabarkan sebagai berikut:

Dengan Teorema 2.1 dan 2.10, dapat dijabarkan bahwa:

a|2m  =>  a|2m × 2m   =>   2|4m²                             (i)

a|2m  =>  a|2m × 6   =>   2|12m²                              (ii)

a|a  =>  a|a × 8   =>   2|8a                                         (iii)

Karena (i), (ii), dan (iii) dan dengan Teorema 2.2, 2.3, dan 2.4, maka:

a|4m² – 12m + 8a                                                      (iv)

Karena 4m² – 12m + 8a = 4(m² – 3m + 2a) dank arena (iv) maka:

a|4(m² – 3m + 2a)

Selanjutnya, kita akan selidiki masalah nomor 3, yaitu apakah hasil kali dua bilangan bulat berurutan selalu terbagi oleh 2. Bukti yang paling sederhana untuk masalah ini didasarkan pada fakta bahwa hasil kali dua bilangan bulat berurutan akan selalu menghasilkan bilangan genap dan kita ketahui bahwa bilangan genap (yaitu 2n untuk sembarang bilangan asli n) selalu habis dibagi oleh 2, yaitu 2|2n untuk sembarang bilangan asli n. Meski argumentasi ini sederhana dan benar, tetapi argumentasi ini tidak mudah ditunjukkan kebenarannya dengan menggunakan notasi. Oleh karena itu, matematikawan mengembangkan berbagai cara untuk membuktikan pernyataan ini, dan salah satunya ditunjukkan pada argumentasi berikut ini: 

Kita akan selidiki kasus ini terlebih dahulu pada himpunan bilangan asli. Pada himpunan bilangan asli, dua bilangan yang berurutan salah satunya pasti adalah bilangan ganjil (2n – 1 untuk bilangan asli n) dan yang satunya lagi adalah bilangan genap (2n untuk bilangan asli n). Dengan demikian perkalian dua bilangan asli yang berurutan akan selalu melibatkan perkalian antara bilangan genap dengan bilangan ganjil, yaitu 2n × (2n – 1). Jika dijabarkan lebih lanjut maka 2n × (2n – 1) = 4n² – 2n = 2(n² – n). Menurut Teorema 2.1, karena 2|2, maka 2|2(n² – n). Dengan demikian, 2|2(n² – n) menunjukkan bahwa perkalian dua bilangan asli yang berurutan akan selalu habis dibagi oleh 2. Jika kita perlaus ke himpunan bilangan bulat, apakah kejadian ini juga akan berlaku? Kita ketahui bahwa invers penjumlahan dari himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat negatif dan sebelumnya pada soal nomor 1 kita sudah membuktikan bahwa jika a|b maka a|(-b) yaitu jika a membagi b maka a membagi invers penjumlahan dari b. Dengan argumentasi yang sama, jika sebelumnya kita sudah membuktikan bahwa 2 habis membagi perkalian dua bilangan asli berurutan sedangkan kita ketahui bahwa invers penjumlahan dari himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat negatif, maka 2 habis membagi dua bilangan bulat negatif yang berurutan, yaitu jika 2|2(n² – n) maka 2|-2(n² – n). Pernyataan 2|2(n² – n) menunjukkan bahwa 2 habis membagi himpunan bilangan bulat positip yang berurutan (i), sedangkan 2|-2(n² – n) menunjukkan bahwa 2 habis membagi himpunan bilangan bulat negatif yang berurutan (ii). Kita belum menunjukkan untuk perkalian dua bilangan bulat yang berurutan yang melibatkan bilangan 0, yaitu (-1) × 0 dan 0 × 1, yang kedua-duanya sama dengan 0 karena (-1) × 0 = 0 × 1 = 0. Jadi kita cukup menunjukkan apakah 2|0. Berdasarkan Teorema 2.10, maka 2|0 (iii). Dengan demikian, berdasarkan pernyataan (i), (ii), dan (iii), dapat disimpulkan bahwa 2 habis membagi perkalian dua bilangan bulat yang berurutan.

 Anda mungkin memiliki cara pembuktian yang lebih sederhana untuk menunjukkan kebenaran pertanyaan bahwa 2 akan selalu habis membagi hasil kali dari dua bilangan bulat yang berurutan. Disarankan agar Anda mencoba mengembangkan argumentasi yang sedikit berbeda sebagai media untuk meningkatkan pemahaman Anda mengenai materi relasi keterbagian ini.

RANGKUMAN

Definisi 2.1 : Relasi Keterbagian Dikatakan bilangan bulat a dengan a ≠ 0 membagi habis bilangan bulat b, dinotasikan dengan a|b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikan sehingga ka = b, yaitu: a|b ó ka = b untuk k  b dan a ≠ 0.

Sifat 2.1 : Sifat Relasi Keterbagian Jik a|b, maka b adalah kelipatan dari a.

Sifat 2.2 : Sifat perkalian pada kesamaan (i) dan sifat kenselasi (ii) (i)                 Jika a = b, maka am = bm untuk sembarang bilangan real m (ii)               Jika am = bm, maka a = b dengan m ≠ 0.

Istilah Penting: Pada relasi keterbagian a|b ó ka = b, maka k disebut hasil bagi (kosien) b oleh a atau dapat juga dinyatakan dengan k adalah faktor b komplemen a.

Teorema 2.1 : Jika p|q maka p|qm

Teorema 2.2 : Jika p|q dan p|r maka p|(q + r) dan p|(q – r)

Teorema 2.3 : Sifat Linearitas Jika p|q1 dan p|q2 maka p|(q1m1 + q2m2)

Teorema 2.4 : Jika p|q1, p|q2, p|q3, … p|qn  maka p|(q1m1 + q2m2 + q3m3 + … + qnmn ) untuk sembarang bilangan bulat m1, m2, m3, … mn.

Teorema 2.5 : Sifat Transitif Jika p|q dan q|r maka p|r

Teorema 2.6 Jika p|q dan q|p, maka p = q atau p = -q

Teorema 2.7 Jika p|q dengan p dan q adalah bilangan bulat positif maka p = q atau p < q

Teorema 2.8 Jika p|q, maka pm|qm untuk sembarang bilangan bulat m

Teorema 2.9 Jika pm|qm dengan m ≠ 0, maka p|q

Teorema 2.10 Untuk sembarang bilangan bulat a, maka: (i)                 a|a untuk a ≠ 0 (ii)               a|0 untuk a ≠ 0 (iii)             1|a